AI用到了什么程度的数学? 从工具和模型本身看，AI用到的数学平均年龄150岁，绝大部分是19世纪中叶之前就有的：矩阵乘法、梯度下降、链式求导、傅里叶、内积、概率，大都是本科前两年的内容。

但AI涌现出的一些现象，目前最高深的数学都解释不了。我整理了几个排名靠前的：

• Scaling Law：把模型做大、数据加多、算力堆够，模型的损失会沿着一条极其干净的幂律曲线下降，log-log 图上几乎是一条直线。一个有几千亿参数、内部高度非线性的庞然大物，宏观行为竟然如此有规律。为什么会这么规则，没人知道。
• Emergent Abilities：三位数加法、多步推理、写代码这些能力，小模型几乎无能为力，但是模型参数量越过某个阈值，模型变得足够大，模型突然就都会了。这在物理上和水变成水蒸气是同一类现象——相变。但水的相变有完整理论，AI 的“能力相变”什么模型都没有，
• Double Descent：传统的统计学习理论告诉我们：模型越大越容易过拟合，测试误差应该先降后升。实际观察到的误差曲线是：先降、再升、然后继续往下降，最终掉到比经典理论的最优点更低的位置。一整套统计学习理论被大模型颠覆，为什么？没有公认解释。
• In-Context Learning：GPT-3之后出现的新现象。给模型几个例子，它不更新任何参数就能完成新任务。按理说"学习"必须改变参数，可大模型在推理过程中能现学现用。这意味着模型内部藏着某种我们看不见的"学习的学习"。数学上这是什么?也没人能说清楚。
• Representation Geometry：模型内部到底学到了什么？A社的可解释性研究发现了一个奇怪的现象：单个神经元同时编码了好几个互不相关的概念，比如同一个神经元既对"金门大桥"有反应,也对"日语"有反应,还对"DNA 序列"有反应。按理说一个维度只能表达一件事,但神经网络似乎找到了某种"叠加"技巧，在有限的维度里塞进了远超维度数的特征。

为什么会这样？没有数学能解释。

类比一下物理，十九世纪末的物理学主要靠微积分就够用了。但当时天空中飘着几朵"乌云"：黑体辐射、光速实验，当时的理论解释不了。这几朵乌云后来炸出了量子力学和相对论，逼出了20世纪最新的数学（泛函分析、微分几何、数学结构化)。

AI现在的处境很像1900年的物理学：工具老得不能再老，结果好得超出预期，但留下了一堆解释不了的现象，现有的数学工具完全无能为力。

如果历史会押韵，这些“AI的乌云”很可能正是21世纪数学下一次大发展的引爆点。